Question

18、ABCD是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别为A′，B′，C′，D′，直线A′B′与C′D′不重合．
（1）求证：A′B′C′D′是平行四边形；
（2）在怎样的条件下，A′B′C′D′也是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据射影证明BB′∥平面CC′D′D，再由题意证出AB∥平面CC′D′D，根据面面平行的判定证出平面ABB′A′∥平面CC′D′D，由面面平行的性质证明A′B′∥C′D′，同理B′C′∥A′D′，即证出；
（2）由（1）证出的平行关系和题意知BB′C′C是直角梯形，故设线段的长度，利用勾股定理求出四边形A′B′C′D′边的长度，再由它是矩形时求出各个线段的长度关系，再由线面平行和垂直进行证明，即得到满足题意的条件．

解答：解：（1）证明：∵BB′⊥α，CC′⊥α，
∴BB′∥CC′，CC′?平面CC′D′D
∴BB′∥平面CC′D′D，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD?平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D，
∴AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D，
∵α∩平面ABB′A′=A′B′，α∩平面CC′D′D=C′D′∴A′B′∥C′D′，
同理B′C′∥A′D′，因此，A′B′C′D′是平行四边形．
（2）设AB=m，BC=n，AA′=a，BB′=b，CC′=c．
不妨设a＞b＞c，在直角梯形BB′C′C中，B′C′²=a²-（b-c）²，
同样地，A′B′^'2=m²-（b-c）²A′C′²=m²+n²-（a-c）²，
当A′B′C′D′是矩形时，∠A′B′C′=90°，A′C′²=A′B′²+B′C′²
于是m²+n²-（a-c）²=m²-（a-b）²+n²-（b-c）²，（a-b）（b-c）=0，∴a=b或b=c
当a=b时，ABB′A′是矩形，AB∥A′B′，∴AB∥α；
同理当b=c时，∴BC∥α，下面再证AB∥α或BC∥α，射影A′B′C′D′是矩形．
当AB∥α时，ABB′A′是矩形，∴A′B′⊥BB′，A′B′∥AB，AB⊥BC，∴A′B′⊥BC，
于是A′B′⊥平面BB′C′C，因此A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形，因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，
射影A′B′C′D′是矩形，A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形．
因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，射影A′B′C′D′是矩形．

点评：本题是一个探究型的题目，需要根据题意去探究符合题意的条件，并且根据线面、面面平行以及垂直的有关定理去证明，综合性强，难度大，考查了分析问题和解决问题的能力．