Question

18．如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=$\frac{3}{4}$，∠BCN=$\frac{π}{4}$，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．
（1）求A，B两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？

Answer 1

分析 （1）由tan∠BAN=$\frac{3}{4}$，∠BCN=$\frac{π}{4}$，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；
（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．
方案②：设∠BPD=θ，则$θ∈（{θ_0}，\frac{π}{2}）$，其中θ₀=∠BAN，
在Rt△BDP中，$DP=\frac{BD}{tanθ}=\frac{3}{tanθ}$，$BP=\frac{BD}{sinθ}=\frac{3}{sinθ}$，
则总铺设费用为$2AP+4BP=8-\frac{6}{tanθ}+\frac{12}{sinθ}=8+6•\frac{2-cosθ}{sinθ}$．
设$f（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，则$f'（θ）=\frac{{{{sin}^2}θ-（2-cosθ）cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}=\frac{1-2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，
，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．

解答 解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：
在Rt△ABD中，$tan∠BAD=tan∠BAN=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{4}$，
所以$AD=\frac{4}{3}BD$，
在Rt△BCD中，$tan∠BCD=tan∠BCN=\frac{BD}{CD}=1$，
所以CD=BD．
则$AC=AD-CD=\frac{4}{3}BD-BD=\frac{1}{3}BD=1$，即BD=3，
所以CD=3，AD=4，
由勾股定理得，$AB=\sqrt{A{D^2}+B{D^2}}=5$（km）．
所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）
（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）
方案②：设∠BPD=θ，则$θ∈（{θ_0}，\frac{π}{2}）$，其中θ₀=∠BAN，
在Rt△BDP中，$DP=\frac{BD}{tanθ}=\frac{3}{tanθ}$，$BP=\frac{BD}{sinθ}=\frac{3}{sinθ}$，
所以$AP=4-DP=4-\frac{3}{tanθ}$．
则总铺设费用为$2AP+4BP=8-\frac{6}{tanθ}+\frac{12}{sinθ}=8+6•\frac{2-cosθ}{sinθ}$．…（8分）
设$f（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，则$f'（θ）=\frac{{{{sin}^2}θ-（2-cosθ）cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}=\frac{1-2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，
令f'（θ）=0，得$θ=\frac{π}{3}$，列表如下：

θ	$（{θ_0}，\frac{π}{3}）$	$\frac{π}{3}$	$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$
f'（θ）	-	0	+
f（θ）	↘	极小值	↗

所以f（θ）的最小值为$f（\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$．
所以方案②的总铺设费用最小为$8+6\sqrt{3}$（万元），此时$AP=4-\sqrt{3}$． …（12分）
而$8+6\sqrt{3}＜20$，
所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向$（4-\sqrt{3}）$km处，总铺设费用最低．…（14分）

点评 本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题