【题目】已知函数,其中e为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)用表示
中较大者,记函数
.若函数
在
上恰有2个零点,求实数a的取值范围.
【答案】(1)函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;(2)
.
【解析】
(1)由题可得,结合
的范围判断
的正负,即可求解;
(2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解
(1),
①当时,
,
∴函数在
内单调递增;
②当时,令
,解得
或
,
当或
时,
,则
单调递增,
当时,
,则
单调递减,
∴函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
(2)(Ⅰ)当时,
所以
在
上无零点;
(Ⅱ)当时,
,
①若,即
,则
是
的一个零点;
②若,即
,则
不是
的零点
(Ⅲ)当时,
,所以此时只需考虑函数
在
上零点的情况,因为
,所以
①当时,
在
上单调递增。又
,所以
(ⅰ)当时,
在
上无零点;
(ⅱ)当时,
,又
,所以此时
在
上恰有一个零点;
②当时,令
,得
,由
,得
;由
,得
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
因为,
,所以此时
在
上恰有一个零点,
综上,
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【题目】已知函数.
(1)求函数的图象在点
处的切线方程;
(2)若在
上有解,求
的取值范围;
(3)设是函数
的导函数,
是函数
的导函数,若函数
的零点为
,则点
恰好就是该函数
的对称中心.试求
的值.
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【题目】如图,已知BD为圆锥AO底面的直径,若,C是圆锥底面所在平面内一点,
,且AC与圆锥底面所成角的正弦值为
.
(1)求证:平面平面ACD;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,动点P与定点的距离和它到定直线
的距离之比是
,设动点P的轨迹为E.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB,过原点的直线交轨迹E的弦为CD,若,求证:
为定值.
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【题目】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有人参加,现将所有参加者按年龄情况分为
,
,
,
,
,
,
等七组,其频率分布直方图如图所示,已知
这组的参加者是6人.
(1)根据此频率分布直方图求;
(2)已知,
这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率.
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【题目】今年由于猪肉涨价太多,更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查,其中不买猪肉的人有30位,买了肉的人有90位,买猪肉且买其它肉的人共30位,则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
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【题目】函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,给出下列命题:
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;
④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.
以上正确命题的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
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