Question

【题目】设函数f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据m正负以及指数函数单调性讨论得导函数符号（2）先利用最值转化不等式恒成立得f(x)最大值与最小值的差不大于e-1,再利用导数研究函数单调性，解对应不等式得m的取值范围．

试题解析：(1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x.

若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；

当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0.

若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；

当x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x)＞0.

所以，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是

即①

设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.

当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1,1]时，g(t)≤0.

当m∈[－1,1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；

当m＞1时，由g(t)的单调性，g(m)＞0，即em－m＞e－1；

当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.

综上，m的取值范围是[－1,1]．