Question

【题目】已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x=﹣1时的极值为0．求常数a，b的值并求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】解：f′（x）=3x2+6ax+b，由题意知 ，解得a=2，b=9…6分 所以f （x）=x3 +6x2 +9 x+4，f′（x）=3x2+12x+9
由f′（x）＞0可得x＜﹣3或x＞﹣1，所以增区间为（﹣∞，﹣3）和（﹣1，+∞）
由f′（x）＜0可得﹣3＜x＜﹣1，所以减区间为（﹣3，﹣1）
【解析】求导函数，利用函数在x=﹣1时的极值为0，建立方程组，可求常数a，b的值；由导数的正负，可得f（x）的单调区间．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．