Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n，且Sn=n2S_n，数列{b_n}为等比数列，且b₁=l，b₄=64．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足c_n=a_b，求数列{c_n}的前项和T_n；
（3）在（2）的条件下，数列{c_n}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，当n=1时，a₁=1=S₁适合，所以a_n=2n-1，因为数列{b_n}为等比数列，且b₁=l，b₄=64，所以b₄=1×q³=64，即得q=4，b_n=4^n-1．
（2）先求得数列{c_n}的通项，由等比数列的前n项和公式可求Tn，
（3）假设存在，最后推出了奇数等于偶数的矛盾，可知不存在．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，当n=1时，a₁=1=S₁适合，所以a_n=2n-1
因为数列{b_n}为等比数列，且b₁=l，b₄=64，所以b₄=1×q³=64，即得q=4，b_n=4^n-1．
（2）因为c_n=abn，所以c_n=2b_n-1=2•4^n-1-1
所以Tn=2×4⁰-1+2×4¹-1+…+2×4^n-1-1
=2×（4⁰+4¹+…+4^n-1）-n=2×

1-4n

1-4

-n=

2

3

(4n-1)-n
（3）假设数列{c_n}中存在p、q、r（p＜q＜r，p，q，r∈N₊）三项，使得这三项成等差数列，
则2×2×4^q-1-2=2×4^p-1-1+2×4^r-1-1，即2×4^q-1=4^p-1+4^r-1，
即2×4^q-p=1+4^r-p，因为p＜q＜r，p，q，r∈N₊，所以2×4^q-p为偶数，
4^r-p为偶数，1+4^r-p为奇数，故不可能相等，
所以数列{c_n}中不存在三项，使得这三项成等差数列．

点评：本题考查数列的通项及前n项和的求解，涉及推矛盾证明不存在问题的方法，属基础题．