Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=aⁿ-1（a是不为0的常数），那么数列{a_n}（　　）

• A、一定是等差数列
• B、一定是等比数列
• C、或者是等差数列或者是等比数列
• D、既不是等差数列也不是等比数列

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：判断该数列是什么数列，可把通项公式求出，再进行判断．

解答： 解：①当a=1时，S_n=0，
且a₁=a-1=0，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=0，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=0，
∴a_n-a_n-1=0，
∴数列{a_n}是等差数列．
②当a≠1时，
a₁=a-1，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=aⁿ-a^n-1，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=a^n-1-a^n-2，（n＞2）
∴

an

an-1

=a，（n＞2）
∴数列{a_n}是等比数列．
综上所述，数列{a_n}或是等差数列或是等比数列．
故选C．

点评：本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．