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7.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1,求过椭圆内点P(4,2)且被P平分的弦所在直线的方程.

分析 设直线被椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1所截弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),把A,B的坐标代入椭圆方程,利用点差法求出A,B所在直线的斜率,再由直线的点斜式方程得答案.

解答 解:设直线被椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1所截弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$,
两式作差得:$\frac{({x}_{1}-{x}_{2})({x}_{1}+{x}_{2})}{16}=-\frac{({y}_{1}-{y}_{2})({y}_{1}+{y}_{2})}{9}$,
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9({x}_{1}+{x}_{2})}{16({y}_{1}+{y}_{2})}$=$-\frac{9×8}{16×4}=-\frac{9}{8}$.
∴所求直线方程为:y-2=$-\frac{9}{8}(x-4)$,整理得:9x+8y-52=0.

点评 本题考查椭圆的简单性质,训练了“点差法”求解中点弦问题,涉及中点弦问题,常采用此法,是中档题.

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