【题目】已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数).且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
【答案】(1) a=e.(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)求得f′(x)=1-.结合f′(1)=0,解得a=e.
(2)由f′(x)=1-,得f(x)在(-∞,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的,故极小值为f(1)=0,无极大值.
试题解析:(1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,得f′(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)f′(x)=1-,令f′(x)=0,得ex=e,即x=1,
当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,1)上是减少的,
在(1,+∞)上是增加的,故f(x)在x=1处取得极小值且极小值为f(1)=0,无极大值.
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【题目】如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m,在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹,为了保护古迹,该市委决定以A为圆心,1百米为半径设立一个圆形保护区,为了连通公路l,m,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上(点P,Q分别在点O的正东、正北方向),且要求PQ与圆A相切.
(1)当点P距O处2百米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ的长最短时,求OQ的长.
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【题目】已知抛物线C: ,点在x轴的正半轴上,过点M的直线与抛物线C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若,且直线的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(2)是否存在定点M,使得不论直线绕点M如何转动, 恒为定值?
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【题目】已知点是直线()上一动点, 、是圆: 的两条切线, 、为切点, 为圆心,若四边形面积的最小值是,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵圆的方程为: ,
∴圆心C(0,1),半径r=1.
根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小。切线长为4,
∴,
∴圆心到直线l的距离为.
∵直线(),
∴,解得,由
所求直线的斜率为
故选D.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点, ,垂足为,则的面积是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】【2018江西南康中学、于都中学上学期第四次联考】椭圆上动点到两个焦点的距离之和为4,且到右焦点距离的最大值为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设点为椭圆的上顶点,若直线与椭圆交于两点(不是上下顶点).试问:直线是否经过某一定点,若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由;
(III)在(II)的条件下,求面积的最大值.
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【题目】已知△ABC为等腰直角三角形, , , 分别是边和的中点,现将沿折起,使平面, 分别是边和的中点,平面与, 分别交于, 两点.
(1)求证: ;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求的长.
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【题目】设椭圆: 的左、右焦点分别为,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过、、三点的圆恰好与直线: 相切,求椭圆的方程;
(III)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点,在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围,如果不存在,说明理由
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