Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱AB，BC的中点．
（1）试判截面MNC₁A₁的形状，并说明理由；
（2）证明：平面MNB₁⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

证明：（Ⅰ）截面MNC₁A₁是等腰梯形，（1分）
连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点，
所以MN∥AC，MN≠AC
又ACA₁C₁，∴MN∥A₁C₁，且MN≠A₁C₁，是梯形，（4分）
易证Rt△AMA₁≌Rt△CNC₁，∴A₁M=C₁N∴MNC₁A₁是等腰梯形（6分）
（Ⅱ）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，BB₁⊥平面ABCD，MN⊆平面ABCD，∴BB₁⊥MN，又MN∥AC，（8分）
∴MN⊥BD，BD∩BB₁=B，∴MN⊥平面BDD₁B₁，MN⊆平面B₁MN，（10分）
∴平面MNB₁⊥平面BDD₁B₁（12分）
分析：（I）连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点，根据MN∥A₁C₁，且MN≠A₁C₁，MNC₁A₁是梯形，易证Rt△AMA₁≌Rt△CNC₁，从而A₁M=C₁N，则MNC₁A₁是等腰梯形；
（Ⅱ）欲证平面MNB₁⊥平面BDD₁B₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面B₁MN内一直线与平面平面BDD₁B₁垂直，而根据线面垂直的判定定理可得MN⊥平面BDD₁B₁．
点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及截面图形形状的判定，考查识图能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．