Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且过点P(2，

2

)，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为

4 5

5

．
（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；
（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有

MN

NQ

为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．

Answer 1

分析：（1）由椭圆E的离心率为

2

2

，知a=2k，c=

2

k，b²=2k²，即椭圆E：

x2

4k2

+

y2

2k2

=1，把点P(2，

2

)代入得k²=2，由此能求出椭圆E方程和圆的方程．
（2）椭圆E的右准线l的方程为x=4．设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M，所以NQ2=λNM2，λ是正的常数（λ≠1），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ（x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0）．由此入手能够导出点Q在圆心，0，半径为的定圆上．定值为：

NM

NQ

=

16+t2

2

，Q在圆心(

1

2

，0)，半径为

1

2

的定圆上．

解答：（1）解：∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，
∴a=2k，c=

2

k，b²=2k²，
∴椭圆E：

x2

4k2

+

y2

2k2

=1，
把点P(2，

2

)代入得k²=2，
∴椭圆E方程：

x2

8

+

y2

4

=1．
圆的方程：x²+y²=4
（2）证明：椭圆E的右准线l的方程为x=4．
　　设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．
　　因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M，所以NQ2=λNM2，λ是正的常数（λ≠1），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ（x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0）．
　　将x2 0+y2 0=4代入，有-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+（20+t2）λ．
　　又有无数组（x0，y0），从而x=4λ，①y=tλ，②x2+y2+4=（20+t2）λ．③
　　由①②代入③，得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，即（16+t2）λ2-（20+t2）λ+4=0，所以（λ-1）[（16+t2）λ-4]=0．
　　又因为λ≠1，所以λ=，即存在一个定点Q（不同于点M），使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值．
　　将16+t2=代入③，得x2+y2+4=+4λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即x-2+y2=，故点Q在圆心，0，半径为的定圆上．
定值为：

NM

NQ

=

16+t2

2

，Q在圆心(

1

2

，0)，半径为

1

2

的定圆上

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．