Question

6．已知a、b∈R，且2ab+2a²+2b²-9=0，若M为a²+b²的最小值，则约束条件$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤3M}\\{|x|+|y|≤\sqrt{2}M}\end{array}\right.$所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（　　）

• A． 29
• B． 25
• C． 18
• D． 16

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质求出M的值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由2ab+2a²+2b²-9=0结合2ab≤a²+b²得3（a²+b²）≥9⇒a²+b²≥3（当且仅当a=b时等号成立）
故M=3，故约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤9}\\{|x|+|y|≤3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内，
在直线x=-3上有1个，
在x=-2上有5个，
在x=-1上有5个，
在x=0上有7个，
在直线x=1上有5个，
在x=2上有5个，
在x=3上有1个，
共29个．
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用基本不等式的性质求出M的值是解决本题的关键．综合性较强．