Question

【题目】已知函数 ．
（1）求证f（x）是R上的单调增函数；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为 ，

设x1＜x2∈R，则

因为x1＜x2∈R，所以 ， ，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）是R上的增函数

（2）解：因为 ，

又2x+1＞1，所以 …（7分）

所以 ，故 ，

所以f（x）的值域为（﹣1，1）

（3）解：因为 ，所以f（x）为奇函数，

所以，从而不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0等价于f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）

因f（x）为增函数，由上式推得t2﹣2t＞k﹣2t2，即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0

从而判别式△=4+12k＜0，解得 ，

故实数k的取值范围是

【解析】（1）根据增函数的定义可证明。（2）利用放缩法求出其值域。（3）利用奇函数的定义可证明f（x）为奇函数，进而转化原式等价为f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）再根据函数增减性的定义可得关于t的不等式，解得即可。
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)．