Question

14．已知圆：x²+y²-4x-4y+7=0的圆心为C，从圆外一点P（a，b）向圆作切线PT，T为切点，且满足|PT|=|PO|（0为坐标原点）．
（1）求|PT|的最小值以及相应点P的坐标；
（2）求△PCT周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出圆心C（2，2），半径r=1，由已知得a²+b²=（a-2）²+（b-2）²-1，由此能求出|PT|的最小值及相应点P的坐标．
（2）△PCT周长取最小值时，P（$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}$），|PT|=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，|TC|=1，由此能求出△PCT周长的最小值．

解答 解：（1）∵圆：x²+y²-4x-4y+7=0的圆心为C，
∴圆心C（2，2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16-28}$=1，
∵从圆外一点P（a，b）向圆作切线PT，T为切点，且满足|PT|=|PO|（0为坐标原点），
∴a²+b²=（a-2）²+（b-2）²-1，
整理，得4a+4b=7，
∴|PT|²=a²+b²=a²+（$\frac{7}{4}-a$）²=2a²-$\frac{7}{2}a$+$\frac{49}{16}$=2（a-$\frac{7}{8}$）²+$\frac{49}{32}$，
∴|PT|的最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，相应点P的坐标为P（$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}$）．
（2）由（1）得△PCT周长取最小值时，P（$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}$），|PT|=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，|TC|=1，
|PC|=$\sqrt{（\frac{7}{8}-2）^{2}+（\frac{7}{8}-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴△PCT周长的最小值L=$\frac{7\sqrt{2}}{8}+1+\frac{3}{2}$=$\frac{20+7\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查圆的切线长的最小值及相应的点的坐标的求法，考查三角形周长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．