Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，△PAD与菱形ABCD有公共边AD，所以△PAD≌△ADB≌△CDB，故作PO⊥平面ABCD，垂足为点O．连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE．于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD．由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，为120°，所以PO=PE•sin60°=

3

2

．
（2）解法一：
建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA，OB为y轴，OP为z轴，连接AG．
则：P（0，0，

3

2

），B（0，

3 3

2

，0），PB的中点G的坐标为（0，

3 3

4

，

3

4

），A（1，

3

2

，0），C（-2，

3 3

2

，0）．根据坐标运算即可求得面APB与面CPB所成二面角的大小．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
解法二：
求解二面角的大小，关键在于作出它的平面角．取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG=

1

2

BC．因为AD⊥PB，所以BC⊥PB，FG⊥PB，所以∠AGF是所求二面角的平面角．

解答：（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O．连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PE．

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD．由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=

3

∴PO=PE•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
即点P到平面ABCD的距离为

3

2

．
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P(0，0，

3

2

)，B(0，

3 3

2

，0)，PB中点G的坐标为(0，

3 3

4

，

3

4

)．连接AG．

又知A(1，

3

2

，0)，C(-2，

3 3

2

，0)．由此得到：

GA

=(1，-

3

4

，-

3

4

)，

PB

=(0，

3 3

2

，-

3

2

)，

BC

=(-2，0，0)．
于是有

GA

•

PB

=0，

BC

•

PB

=0
所以

GA

⊥

PB

•

BC

⊥

PB

.

GA

，

BC

的夹角θ
等于所求二面角的平面角，
于是cosθ=

GA • BC

| GA |•| BC |

=-

2 7

7

，
所以所求二面角的大小为π-arccos

2 7

7

．
解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连接EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG=

1

2

BC．

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角．
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG．
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°．
在Rt△PEG中，EG=PE•cos60°=

3

2

．
在Rt△PEG中，EG=

1

2

AD=1．
于是tan∠GAE=

EG

AE

=

3

2

，
又∠AGF=π-∠GAE．
所以所求二面角的大小为π-arctan

3

2

．

点评：本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．