Question

【题目】若函数f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1在区间（2，3）内为减函数，在区间（5，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.[3，4]
B.[5，7]
C.[4，6]
D.[7，8]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1得f′（x）=x2﹣ax+a﹣1， 令f′（x）=0，解得x=1或x=a﹣1．
当a﹣1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；
当a﹣1＞1，即a＞2时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，
f′（x）在（1，a﹣1）内小于0，函数f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于0，
函数f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．
依题意应有：
当x∈（2，3）时，f′（x）＜0，
当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0．
∴3≤a﹣1≤5，解得4≤a≤6．
∴a的取值范围是[4，6]．
故选：C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．