Question

设函数f(x)=sinx•cosx+

3

cos2x
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）已知f(α)=

1

3

+

3

2

，α∈(

π

12

，

π

3

)，求cos2α．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据f（α）=

1

3

+

3

2

，以及f（α）的解析式，求出sin（2α+

π

3

）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α+

π

3

）的值，所求式子中的角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2x+

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）∵sin（2α+

π

3

）+

3

2

=

1

3

+

3

2

，α∈（

π

12

，

π

3

），∴2α+

π

3

∈（

π

2

，π），
∴sin（2α+

π

3

）=

1

3

，cos（2α+

π

3

）=-

2 2

3

，
∴cos2α=cos[（2α+

π

3

）-

π

3

]=

1

2

×（-

2 2

3

）+

1

3

×

3

2

=

3 -2 2

6

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．