Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0），且曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．
提示：导数的几何意义是指：函数在该点的导数值等于与曲线相切于该点的切线的斜率k=f/(x)

.

x=x 0

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切，建立方程组，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2），令f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；令f′（x）＜0，可得函数的单调减区间，从而可的函数f（x）的极大值点与极小值点．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3ax+b（a≠0），
∴f′（x）=3x²-3a．
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切
∴

f′(2)=0 f(2)=8

，即

3(4-a)=0  8-6a+b=8

∴a=4，b=24；
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞2；
令f′（x）＜0，可得-2＜x＜2
∴函数的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）
∴x=-2是函数f（x）的极大值点，x=2是函数f（x）的极小值点．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键．