Question

已知函数f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常数．
（1）设g(x)=x+

a

x

，判断并证明g（x）在[

a

，+∞)内的单调性；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2+∞）内的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用单调性的定义进行证明：设在[

a

，+∞)内有两个自变量x₁、x₂，且x₁＜x₂，然后将g（x₁）-g（x₂）分解因式，得到(x1-x2)•

(x1x2-a)

x1x2

，通过讨论这个差的正负，得到g（x₁）＜g（x₂），从而g（x）在[

a

，+∞)内是增函数；
（2）根据（1）的结论，得到真数对应的函数u(x)=x+

a

x

-2当a∈（1，4）时，在区间[2+∞）内是增函数，再结合对数函数y=lgx在其定义域上为增函数，得到f（x）在[2+∞）上也是增函数，从而得出最小值为f(2)=lg

a

2

；
（3）将不等式f（x）＞0变形，得到不等式x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立，然后移项去分母，可得a＞3x-x²区间[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max．最后求出二次函数h（x）=3x-x²在区间[2，+∞）上是减函数，从而得到其最大值为h（2）=2，从而得到a的取值范围是（2，+∞）．

解答：解：（1）设在[

a

，+∞)内有两个自变量x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=x 1+

a

x 1

-(x 2+

a

x 2

)=(x1-x2)+

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)=(x1-x2)•

(x1x2-a)

x1x2

∵x₁＜x₂，

a

≤x1，

a

≤x2
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0且x₁x₂-a＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x₁）＜g（x₂）
所以函数g（x）在[

a

，+∞)内是增函数；
（2）设u(x)=x+

a

x

-2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时
由（1）知u(x)=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函数
又∵对数函数y=lgx在其定义域上为增函数，
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上是增函数
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上的最小值为f(2)=lg

a

2

（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即lg(x+

a

x

-2)＞0在区间[2，+∞）恒成立，
而常用对数的底为10＞1，lg1=0，所以x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立
∴移项，去分母得a＞3x-x²区间[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max
设h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
∵在x∈[2，+∞）上h（x）是减函数
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2

点评：本题给出一个分式函数与对数函数复合类型的函数，通过研究它的单调性与最值，考查了用定义证明函数单调性、对数函数图象与性质的综合应用、复合函数的单调性和函数的最值等知识点，属于中档题．