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已知函数f(x)=log2(a-2x)+x-2,若f(x)存在零点,则实数a的取值范围是


  1. A.
    (-∞,-4]∪[4,+∞)
  2. B.
    [1,+∞)
  3. C.
    [2,+∞)
  4. D.
    [4,+∞)
D
分析:根据函数零点与对应方程根之间的关系,我们可将f(x)存在零点转化为方程log2(a-2x)=2-x有根,结合对数方程和指数方程的解法,我们可将他转化为一个二次方程根的存在性总是,再根据二次方程根的个数与△的关系及韦达定理,我们易构造一个关于a的不等式,解不等式即可求出实数a的取值范围.
解答:若f(x)存在零点,
则方程log2(a-2x)=2-x有根
即22-x=a-2x有根,
令2x=t(t>0)
则原方程等价于=a-t有正根
即t2-at+4=0有正根,
根据根与系数的关系t1t2=4>0,
即若方程有正根,必有两正根,
故有
∴a≥4.
故选D
点评:本题考查的知识点是函数零点的判定定理,其中根据指数方程和对数方程的解法,将函数对应的方程转化为一个二次方程是解答的关键.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)当a=1时,若直线l:y=kx-2与曲线y=f(x)在(-∞,0)上有公共点,求k的取值范围.

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已知函数f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn,则S2012的值为(  )

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已知函数f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.

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已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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