分析 先由$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=2($\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$)得到3$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$,两边平方,化简整理得到cosα=$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$,根据-1≤cosα≤1,得到$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{8}{3}$,再根据k∈N*,得到k=2,代入即可求出.
解答 解:∵|$\overrightarrow{a}$|:|$\overrightarrow{b}$|:|$\overrightarrow{c}$|=2:k:3(k∈N*),
设|$\overrightarrow{a}$|=2m,|$\overrightarrow{b}$|=km,|$\overrightarrow{c}$|=3m,m为大于零的常数,
∵$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=2($\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$),
∴3$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$,
∴(3$\overrightarrow{b}$)2=($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{c}$)2,
∴9$\overrightarrow{b}$2=$\overrightarrow{a}$2+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$2=$\overrightarrow{a}$2+4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|cosα+4$\overrightarrow{c}$2,
∴9k2=4+24cosα+36,
∴cosα=$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$,
∵-1≤cosα≤1,
∴-1≤$\frac{9{k}^{2}-40}{24}$≤1,
解得$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{8}{3}$,
∵k∈N*,
∴k=2,
∴cosα=$\frac{36-40}{24}$=-$\frac{1}{6}$,
故答案为:-$\frac{1}{6}$.
点评 本题考查了向量的数量积的运算,向量的夹角公式,以及余弦函数的性质,属于中档题.
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A. | [-2,3] | B. | [-2,0) | C. | [-2,0)∪[3,+∞) | D. | [3,+∞) |
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A. | $\sqrt{{x}^{2}-2|x|+1}$ | B. | x2+1-2|x| | C. | |x2-1| | D. | $\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$ |
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A. | 15(1+$\sqrt{2}$) | B. | 15(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$) | C. | 15($\sqrt{2}$-1)或15(1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$) | D. | 15(1+$\sqrt{2}$)或15(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$) |
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