Question

15．已知a，b，c为正数，且lg（ac）lg（bc）+1=0，求lg$\frac{a}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 由对数的运算变形已知式子可得lg²（bc）+lg$\frac{a}{b}$•lg（bc）+1=0，由关于lg（bc）的一元二次方程有实根可得△≥0，解不等式可得．

解答 解：∵lg（ac）•lg（bc）+1=0，
∴lg[$\frac{a}{b}$•（bc）]•lg（bc）+1=0
∴[lg$\frac{a}{b}$+lg（bc）]•lg（bc）+1=0，
∴lg²（bc）+lg$\frac{a}{b}$•lg（bc）+1=0
∵a、b、c为正数，∴bc＞0，
由关于lg（bc）的一元二次方程有实根可得△≥0，
即△=lg²$\frac{a}{b}$-4≥0，解得lg$\frac{a}{b}$≥2或lg$\frac{a}{b}$≤-2，

∴lg$\frac{a}{b}$的取值范围为：（-∞，-2]∪[2，+∞）

点评 本题考查不等式的解法，涉及一元二次方程根的存在性，属基础题．