Question

（2013•顺义区一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n，S_n）在函数y=2^x+1-2的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+1+b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N^*不等式b_n＜λb_n+1恒成立，求实数h(-1)=-

1

3

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可知Sn=2n+1-2，分当n=1，和n≥2两种情况，可得数列{a_n}的通项公式；
（II）可得bn+1+bn=2n，分n为奇数和n为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；
（III）由（II）可知bn=

2n 3 + 2 3 (n为偶数) 2n 3 - 2 3 (n为奇数)

，分当n为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得

bn

bn+1

的最大值是1，进而可得结论．

解答：解：（I）由题意可知，Sn=2n+1-2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n，
当n=1时，a1=S1=21+1-2=2也满足上式，
所以an=2n(n∈N*)．…（3分）
（II）由（I）可知bn+1+bn=2n(n∈N*)，即bk+1+bk=2k(k∈N*)．
当k=1时，b2+b1=21，…①
当k=2时，b3+b2=22，所以-b3-b2=-22，…②
当k=3时，b4+b3=23，…③
当k=4时，b5+b4=24，所以-b5-b4=-24，…④
…
…
当k=n-1时（n为偶数），bn+bn-1=2n-1，所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1
以上n-1个式子相加，得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1
=

2[1-(-2)n-1]

1-(-2)

=

2(1+2n-1)

3

=

2n

3

+

2

3

，又b₁=0，
所以，当n为偶数时，bn=

2n

3

+

2

3

．
同理，当n为奇数时，-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1
=

2[1-(-2)n-1]

1-(-2)

=

2-2n

3

，
所以，当n为奇数时，bn=

2n

3

-

2

3

．…（6分）
因此，当n为偶数时，数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(

2

3

-

2

3

)+(

22

3

+

2

3

)+(

23

3

-

2

3

)+(

24

3

+

2

3

)+…+(

2n

3

+

2

3

)
=

2

3

+

22

3

+…+

2n

3

=

1

3

•

2(1-2n)

1-2

=

2n+1

3

-

2

3

；
当n为奇数时，数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=(

2

3

-

2

3

)+(

22

3

+

2

3

)+…+(

2n-1

3

+

2

3

)+(

2n

3

-

2

3

)
=(

2

3

+

22

3

+…+

2n

3

)-

2

3

=

2n+1

3

-

4

3

．
故数列{b_n}的前n项和Tn=

2n+1 3 - 2 3 (n为偶数) 2n+1 3 - 4 3 (n为奇数)

．…（8分）
（III）由（II）可知bn=

2n 3 + 2 3 (n为偶数) 2n 3 - 2 3 (n为奇数)

，
①当n为偶数时，

bn

bn+1

=

2n 3 + 2 3

2n+1 3 - 2 3

=

2n+2

2n+1-2

=

1

2

+

3

2n+1+2

，
所以

bn

bn+1

随n的增大而减小，
从而，当n为偶数时，

bn

bn+1

的最大值是

b2

b3

=1．
②当n为奇数时，

bn

bn+1

=

2n 3 - 2 3

2n+1 3 + 2 3

=

2n-2

2n+1+2

=

1

2

-

3

2n+1+2

，
所以

bn

bn+1

随n的增大而增大，且

bn

bn+1

=

1

2

-

3

2n+1+2

＜

1

2

＜1．
综上，

bn

bn+1

的最大值是1．
因此，若对于任意的n∈N*，不等式b_n＜λb_n+1恒成立，只需λ＞1，
故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…（13分）

点评：本题考查数列的求和，涉及等差数列等比数列，以及分类讨论的思想，属中档题．