Question

（2013•盐城二模）设函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f²（x+1）+f²（x）=9．已知当x∈[0，1]时，有f（x）=2-|4x-2|，则f(

2013

6

)的值为

5

．

Answer 1

分析：由条件求得可得 f（x+2）=f（x），故函数是周期为2的周期函数，可得 f(

2013

6

)=f（-

1

2

），先求得f（

1

2

）的值，
根据f²（x+1）+f²（x）=9，即可求得f（-

1

2

）的值，从而求得 f(

2013

6

) 的值．

解答：解：∵f²（x+1）+f²（x）=9，即 f²（x+1）=9-f²（x），
∴f²（x+2）=9-f²（x+1），化简可得 f²（x+2）=9-[9-f²（x）]=f²（x）．
再由 函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0，可得 f（x+2）=f（x），故函数是周期为2的周期函数．
∴f(

2013

6

)=f（336-

1

2

）=f（-

1

2

）．
又 f²（-

1

2

）=9-f2(-

1

2

+1)=9-f²（

1

2

），
再由当x∈[0，1]时，有f（x）=2-|4x-2|，可得f（

1

2

）=2-|4×

1

2

-2|=2，
故 f²（-

1

2

）=9-f²（

1

2

）=9-4=5，故f（-

1

2

）=

5

，
故f(

2013

6

)=f（-

1

2

）=

5

，
故答案为

5

．

点评：本题主要考查了抽象函数的求值，同时考查了函数的周期性，属于中档题．