Question

【题目】已知定义域为，对任意、都有，当时，，.

（1）求；

（2）证明：在上单调递减；

（3）解不等式：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）先令求出的值，再令，可求出的值；

（2）构造函数，可得出，令可得出函数为奇函数，再令，可得出，结合函数的单调性的定义可得出函数在上为减函数，由此可得出函数在上单调递减；

（3）将所求不等式化为，求出，然后由题意得出，由函数的单调性可得出，解出该不等式即可.

（1）令，可得，得出，

令，，则，即，解得；

（2）构造函数，

由可得，且.

设，则，，函数为奇函数，

当时，.

任取、，且，则，

，，

则函数在上是减函数，因此，函数在上也是减函数；

（3）由（2）可得，由，

可得，即，

，且，

，

由（2）知，函数在上是减函数，，即，

解得.

因此，不等式的解集为.