Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程
（2）若α∈(0，

π

4

)，f(α)=

3

5

，求f(α+

π

12

)的值．

Answer 1

分析：（1）由诱导公式与两角和与差的三角函数公式，化简得f（x）=sin（2x-

π

6

）．再由三角函数的周期公式和正弦函数对称轴方程的公式，即可算出数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）由题意算出sin(2α-

π

6

)=

3

5

，利用同角三角函数的关系结合α∈(0，

π

4

)算出cos（2α-

π

6

）=

4

5

，再利用两角和的正弦公式并利用配角的方法，即可算出f(α+

π

12

)的值．

解答：解：（1）∵sin（x+

π

4

）=cos（

π

4

-x）=cos（x-

π

4

）
∴f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x-

π

2

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
因此，函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
令2x-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），可得x=

π

3

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=

π

3

+

1

2

kπ（k∈Z）．
（2）由（1）得f(α)=sin(2α-

π

6

)=

3

5

∴f(α+

π

12

)=sin2α=sin[(2α-

π

6

)+

π

6

)=sin（2α-

π

6

）cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）sin

π

6

∵α∈(0，

π

4

)
∴cos（2α-

π

6

）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
可得f(α+

π

12

)=sin（2α-

π

6

）cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）sin

π

6

=

4+3 3

10

．

点评：本题给出三角函数式的化简，求函数的周期和图象的对称轴，并依此求特殊的函数值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，考查了配角的数学思想方法，属于中档题．