Question

如图所示，在正方体AC₁中，M是棱DD₁的中点，O是平面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意一点，则直线AM与OP所成角是

 

．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，给出A、M、O、P的坐标，再求出向量

AM

，

OP

的坐标，利用坐标运算求解即可．

解答：解：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间坐标系，则有A（2a，0，0），M（0，0，a），O（a，a，0）
∵P是A₁B₁上任意一点，不妨设P（2a，m，2a）（0≤m≤2a）．
∴

AM

=(0，0，a)-(2a，0，0)=(-2a，0，a)．
∴

OP

=(2a，m，2a)-(a，a，0)=(a，m-a，2a)，
∴

AM

?

OP

=-2a×a+0×(m-a)+a×2a=0．
∴异面直线AM与OP所成角为

π

2

．
故答案是

π

2

．

点评：本题考查异面直线所成的角，利用向量坐标运算是解决此类题的常用方法．此题也可利用证明线面垂直求解．