Question

8．等差数列{a_n}的前项和为S_n，已知a₁=10，a₂为整数，且S_n≤S₄，设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，则数列{b_n}的前项和T_n为（　　）

• A． $\frac{3n}{10（10-3n）}$
• B． $\frac{n}{10（10-3n）}$
• C． $\frac{n}{10-3n}$
• D． $\frac{n}{10（13-3n）}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，依题意知S₄为其前项和中的最大值，进一步可求得公差d=-3，得到数列{a_n}的通项公式，再利用裂项法即可求得数列{b_n}的前项和T_n．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵等差数列{a_n}的前项和为S_n，且S_n≤S₄，
∴S₄为其前项和中的最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}≥0}\\{{a}_{5}＜0}\end{array}\right.$，
又a₁=10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10+3d≥0}\\{10+4d＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{10}{3}$≤d＜-$\frac{5}{2}$，又a₂为整数，
∴公差d=a₂-a₁为整数，
∴d=-3．
∴a_n=10+（n-1）×（-3）=13-3n．
又${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（13-3n）（10-3n）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{10-3n}$-$\frac{1}{13-3n}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{10-3n}$-$\frac{1}{13-3n}$）=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{10-3n}$-$\frac{1}{10}$）=$\frac{n}{10（10-3n）}$．
故选：B．

点评 本题考查数列的求和，分析得到S₄为其前项和中的最大值，并求得公差d=-3是关键，考查裂项法求和，属于难题．