Question

一弹簧挂着小球作上下振动，经研究表明，时间x（s）与小球相对于平衡位置的高度y（cm）=f（x）的函数关系式符合某一正弦曲线f（x）=Asin（ωx+φ） （其中Α＞0，ω＞0，|φ|≤π），且离平衡位置最高点为（2，

2

），由最高点到相邻下一次图象交x轴于点（6，0）；  （1）求经多少时间小球往复振动一次？（2）确定g（x）表达式，使其图象与f（x）关于直线x=1对称．

Answer 1

分析：由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，结合函数的图象经过的特殊点，以及|φ|≤π，求出φ，得到函数的解析式．
（1）利用周期即可求出经多少时间小球往复振动一次．
（2）利用对称知识求出g（x）表达式，使其图象与f（x）关于直线x=1对称．

解答：解：由题意正弦曲线f（x）=Asin（ωx+φ） （其中Α＞0，ω＞0，|φ|≤π），
且离平衡位置最高点为（2，

2

），由最高点到相邻下一次图象交x轴于点（6，0）； 
 可知A=

2

，T=16，所以ω=

π

8

，因为函数经过（6，0）；
所以 0=

2

sin（

π

8

×6+φ），φ=

π

4

，f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．
（1）有函数的周期可知，求经16，小球往复振动一次．
（2）f（x）关于直线x=1对称．所以（x，y）与（2-x，y）关于x=1对称，
所以所求的解析式g（x）=

2

sin（-

π

8

x+

π

2

）=

2

cos

π

8

x．
即g（x）=

2

cos

π

8

x．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，考查函数的基本知识的应用，考查计算能力．