Question

已知集合M={y|y=x²+2x+4，x∈R}，P={y|y=ax²-2x+4a，a≥0，x∈R}，若M∩P=M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次函数的值域，我们可以求出集合M，然后我们分a=0时，此时P中函数为一次函数，和a≠0时，此时P中函数为二次函数，分别讨论满足条件的实数a的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵M={y|y=x²+2x+4，x∈R}={y|y≥3}，
又∵M∩P=M，
∴M⊆p….2．分
（1）当a=0 时，p={y|y=-2x，x∈R}满足M⊆P…..（4分）
（2）当a≠0，p={y|y=a(x-

1

a

)2+4a-

1

a

}={y|y≥4a-

1

a

}，M⊆p…（6分）
则

a＞0 4a- 1 a ≤3

⇒0＜a≤1…（10分）
综上述：0≤a≤1…..（12分）

点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，熟练掌握一次函数和二次函数的值域是解答本题的关键，解答时，易忽略a=0时也满足答案，而错解为0＜a≤1