Question

3．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{2}$，且经过点（-2，0）．过点D（0，-2）的斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于P点，点A关于x轴的对称点C，直线BC交x轴于点Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）试问：|OP|?|OQ|是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：2c=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，经过点（-2，0）．则a=2，b²=a²-c²=2，即可求得椭圆的标准方程，直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程，由△=64k²-16（1+2k²）＞0，即可求得k的取值范围；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（x₁，-y₁），由y=kx-2，令y=0，x_P=$\frac{2}{k}$，P（$\frac{2}{k}$，0），令y=0，x_Q=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，由韦达定理及直线方程即可求得x_Q=2k，|OP|?|OQ|=丨x_P丨丨x_Q丨=4，则|OP|?|OQ|为定值4．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，2c=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
经过点（-2，0）．则a=2，
b²=a²-c²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
设直线l的方程为y=kx-2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-8kx+4=0，
由△=64k²-16（1+2k²）＞0，得k²＞$\frac{1}{2}$，
∴k的取值范围（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（x₁，-y₁），
x₁+x₂=$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
由y=kx-2，令y=0，x_P=$\frac{2}{k}$，P（$\frac{2}{k}$，0），
设直线BC的方程为y=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）+y₁，
令y=0，x_Q=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
则y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，代入上式，
x_Q=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4}$=$\frac{2k×\frac{4}{1+2{k}^{2}}-\frac{16k}{1+2{k}^{2}}}{k×\frac{8k}{1+2{k}^{2}}-4}$=2k，
∴|OP|?|OQ|=丨x_P丨丨x_Q丨=丨$\frac{2}{k}$丨丨2k丨=4，为定值，
∴|OP|?|OQ|为定值4．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．