Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物

线的焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ)是椭圆上两点，、是椭圆位于直线两侧的两动点，

（i）若直线的斜率为求四边形面积的最大值；

（ii）当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

Answer 1

（本小题满分14分）

(Ⅰ）设方程为，则.

由，得

∴椭圆C的方程为.           …………………………………………4分

(Ⅱ)（i）解：设，直线的方程为，

代入，得       

由，解得                     …………………………………………6分

由韦达定理得.

四边形的面积

∴当，.                    …………………………………………8分

(Ⅱ) （ii）解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为

则的斜率为，的直线方程为

由

（1）代入（2）整理得

                                   …………………………………………10分

同理的直线方程为，可得

∴                    …………………………………………12分

所以的斜率为定值.                                …………………………………………14分