Question

在复平面内，复数z₁=-8+5

3

i，z₂=-3，z₃=3所对应的点为A、B、C，以A、B、C为顶点的三角形为△ABC
（Ⅰ）求∠B
（Ⅱ）求以B、C为焦点且过点A的双曲线的方程．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,余弦定理,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出A、B、C的坐标，
法一：|AB|=10，|BC|=6，|AC|=14，利用由余弦定理知cosB=

102+62-142

2×10×6

=-

1

2

，求出B．
法二：利用向量的数量积，结合B∈（0，π）求出B=

2

3

π．
（Ⅱ）由双曲线的定义，求出a，b²，即可求双曲线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知点A、B、C的坐标分别为(-8，5

3

)，(-3，0)，(3，0)，…．（1分）
则
法一：|AB|=10，|BC|=6，|AC|=14…（3分）
所以由余弦定理知cosB=

102+62-142

2×10×6

=-

1

2

…（5分）
又B∈（0，π）所以B=

2

3

π…..（6分）
法二：

BA

=(-5，5

3

)，

BC

=(6，0)…（3分）
故cosB=

BA • BC

| BA | BC ||

=

-30

10×6

=-

1

2

…（5分）
又B∈（0，π）所以B=

2

3

π…（6分）
（Ⅱ）由双曲线的定义可知2a=||AB|-|AC||=|10-14|=4…（9分）
故a=2，又c=3，∴b²=5…（11分）
所以所求双曲线的方程为

x2

4

-

y2

5

=1…（12分）

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，向量的数量积以及双曲线方程的求法，考查计算能力．