Question

3．正实数a₁（i=1，2，…，10）满足条件$\sum_{i=1}^{10}$a_i=30．求证：$\sum_{i=1}^{10}$（a_i-1）（a_i-2）（a_i-3）≥0．

Answer 1

分析 构造函数不等式（x-1）（x-2）（x-3）≥2（x-3）是证明本式的关键，再通过累加即可．

解答 证明：构造函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-3），x∈（0，+∞），
作差，f（x）-2（x-3）=（x-1）（x-2）（x-3）-2（x-3）
=（x-3）[（x-1）（x-2）-2]
=（x-3）（x²-3x）
=x（x-3）²≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以，f（x）≥2（x-3），x∈（0，+∞），
又∵a_i（i=1，2，…，10）为正实数，
∴f（a_i）≥2（a_i-3）=2a_i-6，i=1，2，…，10，
累加得：$\sum_{i=1}^{10}f（{a}_{i}）$≥2（a₁+a₂+a₃+…+a₁₀）-60=2$\sum_{i=1}^{10}{a}_{i}$-60=0，
故，$\sum_{i=1}^{10}（{a}_{i}-1）（{a}_{i}-2）（{a}_{i}-3）$≥0．

点评 本题主要考查了通过构造函数证明不等式，以及作差比较法，累加求和法，具有的一定的技巧性，属于难题．