Question

设函数f（x）=

3 sinθ

3

x3+

cosθ

2

x2+4x-1，其中θ∈[0，

5π

6

]，则导数f′（-1）的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据函数解析式求出f'（x），把x=-1代入f'（x），利用两角差的正弦公式化简，根据θ的范围和正弦函数的性质求出f'（-1）的范围．

解答：解：由f（x）=

3 sinθ

3

x3+

cosθ

2

x2+4x-1得，f'（x）=

3

sinθx²+cosθx+4，
则f′（-1）=

3

sinθ-cosθ+4=2sin(θ-

π

6

)+4，
∵θ∈[0，

5π

6

]，∴-

π

6

＜θ-

π

6

＜

2π

3

，∴-

1

2

＜sin(θ-

π

6

)≤1，
∴-1＜2sin(θ-

π

6

)≤2，即3＜2sin(θ-

π

6

)+4≤6，
故导数f′（-1）的取值范围是（3，6]．
故答案为：（3，6]．

点评：本题考查了求函数的导数，再求导函数的函数值的范围，利用两角差的正弦公式和正弦函数的性质，进行化简并求出f'（-1）的范围．