Question

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R函数：f₁（x）=x

，f2

(x)=x2

，f3

(x)=lg(

x2+1

+x)

，f4

(x)=x•|x

.

，f5

(x)=cosx

，f6

(x)=2(ex)0，
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）考查六个函数，其中有三个奇函数，故“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所包含的基本事件数是从三个奇函数中取两个的取法种数，其概率易求．
（2）由于抽到偶函数就停止抽取，故抽取次数最多四次就停止，故变量的取值为1，2，3，4，分别计算出它们的概率，得出抽取次数ξ的分布列和数学期望

解答：解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
由题意知P(A)=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

 
（2）ξ可取1，2，3，4．  P（ξ=1）=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，P（ξ=2）=

C 1 3

C 1 6

×

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，同理可解得P（ξ=3）=

3

20

，P（ξ=4）=

1

20

故ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	1 2	3 10	3 20	1 20

Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

 
答：ξ的数学期望为

7

4

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，正确求出分面列，熟记期望的求法公式是解本题的关键，正确理解所研究的事件，得出变量的取值范围是求分布列的第一步，解题时要考虑周全