精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知一个数列{an}的各项都是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前n项的和为Sn.参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070
(I)试问第10个1为该数列的第几项?
(II)求a2012和S2012
(III)是否存在正整数m,使得Sm=2012?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由.
分析:(I)将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对,得到前k对共有项数为2+4+…+2k=k(k+1).由此能求出第10个1为该数列的第几项.
(II)由44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,知第2012项在第45对中的第32个数,由此能求出a2012和S2012
(III)由前k对所在全部项的和为Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k],能推导出S993=1954且自第994项到第1056项均为2,而2012-1954=58能被2整除,由此得到存在m=993+29=1022,使S1022=2012.
解答:解:(I)将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对,
即(1,2)为第1对,共1+1=2项;(1,2,2,2)为第2对,共1+3=4项;…;
(1,
2,2,2,…2)
共2k-1个2
为第k对,共1+(2k-1)=2k项;
故前k对共有项数为2+4+…+2k=k(k+1).
第10个1所在的项之前共有9对,所以10个1为该数列的
9×(9+1)+1=91(项).…(6分)
(II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012项在第45对中的第32个数,从而a2012=2
又前2012项中共有45个1,其余2012-45=1967个数均为2,
于是S2012=45×1+1967×2=3979…(10分)
(III)∵前k对所在全部项的和为Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]
S31×32=S992=2×312+31=1953
S32×33=S1056=2×322+32=2080
即S993=1954且自第994项到第1056项均为2,而2012-1954=58能被2整除,
故存在m=993+29=1022,使S1022=2012.…(14分)
点评:本题考查数列知识的综合运用,具有一定的探索性,对数学思维的要求较高,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知一个数列{an}的前n项和是Sn=
1
4
n2+
2
3
n+3

(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明{an}不是等差数列.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

17、已知一个数列{an}的各项是1或3.首项是1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3,即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,…,则这个数列的前2010项和为
5940

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知一个数列{an}的各项是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有f(k)个2,记数列的前n项的和为Sn
(1)若f(k)=2k-1,求S100
(2)若f(k)=2k-1,求S2011

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知一个数列{an}的各项是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有(2k-1)个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….则a2006=________________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案