Question

【题目】某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+ ，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y= ﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（ ≈2.65）

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：

x=2时y=800，∴a+b=800，

又∵x=3时y=150，∴b=300，可得a=500

∴y=

（2）解：由题意：

f（x）=y（x﹣1）= ，

当1＜x≤4时，

f（x）=500（x﹣3）2（x﹣1）+300=500x3﹣3500x2+7500x﹣4200，

f'（x）=500（3x﹣5）（x﹣3），

∴由f′（x）＞0，得 ＜x＜3，

∴f（x）在（1， ），（3，4）上递增，在（ ，3）上递减，

∵f（ ）= +450＜f（4）=1800，

∴当x=4时时有最大值，f（4）=1800

当4＜x≤12时，

f（x）=（ ﹣100）（x﹣1）=2900﹣（100x+ ）≤2900﹣400 ≈1840，

当且仅当100x= ，即x=2 ≈5.3时取等号，

∴x=5.3时有最大值1840，

∵1800＜1840，

∴当x=5.3时f（x）有最大值1840

即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大

【解析】（1）根据已知条件代入函数解析式得到两个方程组即可解出未知数的值，得到函数的方程。（2）利用导数求函数的最值，构造了一个不改变函数增减性的函数来化简计算，在得出函数增减区间后应注意结合定义区间来求解实际问题的最值问题。