Question

4．求函数y=2-$\frac{4}{3}$sinx-cos²x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 运用三角函数的基本关系和换元法，令t=sinx（-1≤t≤1），则y=t²-$\frac{4}{3}$t+1，运用二次函数的值域求法，即可得到最值．

解答 解：由同角的三角函数关系sin²x+cos²x=1，
y=2-$\frac{4}{3}$sinx-cos²x，
=2-$\frac{4}{3}$sinx-1+sin²x
=sin²x-$\frac{4}{3}$sinx+1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=t²-$\frac{4}{3}$t+1，t∈[-1，1]，
函数的对称轴为t=$\frac{2}{3}$，
∴t在[-1，$\frac{2}{3}$]上单调递减，在（$\frac{2}{3}$，1]上单调递增，
∴当t=-1时，取最大值：y_max=$\frac{10}{3}$；
当x=$\frac{2}{3}$时，取最小值：y_min=$\frac{5}{9}$，
函数的最大值为$\frac{10}{3}$，最小值$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查三角函数的最值及正弦函数的值域，同时考查换元法和二次函数的值域求法，属于中档题．