分析 运用三角函数的基本关系和换元法,令t=sinx(-1≤t≤1),则y=t2-$\frac{4}{3}$t+1,运用二次函数的值域求法,即可得到最值.
解答 解:由同角的三角函数关系sin2x+cos2x=1,
y=2-$\frac{4}{3}$sinx-cos2x,
=2-$\frac{4}{3}$sinx-1+sin2x
=sin2x-$\frac{4}{3}$sinx+1,
令sinx=t,t∈[-1,1],
y=t2-$\frac{4}{3}$t+1,t∈[-1,1],
函数的对称轴为t=$\frac{2}{3}$,
∴t在[-1,$\frac{2}{3}$]上单调递减,在($\frac{2}{3}$,1]上单调递增,
∴当t=-1时,取最大值:ymax=$\frac{10}{3}$;
当x=$\frac{2}{3}$时,取最小值:ymin=$\frac{5}{9}$,
函数的最大值为$\frac{10}{3}$,最小值$\frac{5}{9}$.
点评 本题考查三角函数的最值及正弦函数的值域,同时考查换元法和二次函数的值域求法,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | D. | $\frac{5}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [-1,0] | B. | (-1,0) | C. | [-2,0] | D. | [-$\frac{1}{2}$,0] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -3 | B. | -2 | C. | -1 | D. | 2 |
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