Question

某人驾车从A地到B地要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1

3

，遇到红灯时停留时间都是30秒．
（Ⅰ）求该人驾车从A地到B地路上，到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）设该人驾车从A地到B地路上因遇到红灯停留的总时间为ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（I）第三个路口时首次遇到红灯说明前两个路口遇到的都不是红灯，由此利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出第三个路口时首次遇到红灯的概率．
（II）由题意可知ξ=0，30，60，90，120，P（ξ=30×k）=C

k 4

（

1

3

）^k（

2

3

）^4-k，k=0，1，2，3，4，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答： 解：（I）设第三个路口时首次遇到红灯为事件A，
P（A）=（1-

1

3

）×（1-

1

3

）×

1

3

=

4

27

．…（4分）
（II）由题意可知ξ=0，30，60，90，120，…（5分）
P（ξ=30×k）=C

k 4

（

1

3

）^k（

2

3

）^4-k，k=0，1，2，3，4，
∴ξ的分布是

ξ	0	30	60	90	120
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

…（10分）
Eρ=0×

16

81

+30×

32

81

+90×

8

81

+120×

1

81

=40．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，是中档题．