【题目】的三个内角
的对边长分别为
,
是
的外接圆半径,则下列四个条件
(1); (2)
;
(3); (4)
.
有两个结论:甲:是等边三角形; 乙:
是等腰直角三角形.
请你选出给定的四个条件中的两个为条件,两个结论中的一个为结论,写出一个你认为正确的命题__________.
【答案】甲或
乙或
乙
【解析】由(1)(2)为条件,甲为结论,得到的命题为真命题,理由如下:
证明:由(a+b+c)(a+bc)=3ab,变形得:a2+b2+2abc2=3ab,即a2+b2c2=ab,
则,又C为三角形的内角,∴C=60°,
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,即sinBcosCcosBsinC=sin(BC)=0,
∵π<BC<π,∴BC=0,即B=C,则A=B=C=60°,∴△ABC是等边三角形;
以(2)(4)作为条件,乙为结论,得到的命题为真命题,理由为:
证明:化简得:sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosCcosBsinC=sin(BC)=0,∵π<BC<π,∴BC=0,即B=C,∴b=c,
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得:,
代入得:
,
整理得:,即
,∴
,
∴a2=2b2,又b2+c2=2b2,∴a2=b2+c2,∴∠A=90°,则三角形为等腰直角三角形;
以(3)(4)作为条件,乙为结论,得到的命题为真命题,理由为:
证明:由正弦定理得:
,
代入得:
,
整理得:,即
,
,又
,
又b=acosC,c=acosB,根据正弦定理得:sinB=sinAcosC,sinC=sinAcosB,∴
,即sinBcosB=sinCcosC,∴sin2B=sin2C,又B和C都为三角形的内角,∴2B=2C,即B=C,则三角形为等腰直角三角形。
故 甲或
乙或
乙
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【题目】如图所示,将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中,已知
,点
是三角形木板内一点,现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点
的任一直线
将三角形木板锯成
.设直线
的斜率为
.
(Ⅰ)求点的坐标及直线
的斜率
的范围;
(Ⅱ)令的面积为
,试求出
的取值范围;
(Ⅲ)令(Ⅱ)中的取值范围为集合
,若
对
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆
,
是坐标原点,
分别为其左右焦点,
,
是椭圆上一点,
的最大值为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
两点,且
(i)求证: 为定值;
(ii)求面积的取值范围.
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【题目】为得到函数y=sin(2x+ )的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向右平移 长度单位
B.向左平移 个长度单位
C.向右平移个 长度单位
D.向左平移 长度单位
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【题目】某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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【题目】已知关于的二次函数
.
(1)设集合和
,分别从集合
中随机取一个数作为
和
,求函数
在区间
上是增函数的概率;
(2)设点是区域
内的随机点, 求函数
在区间
上是增函数的概率.
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【题目】有下列四个命题
①“若,则互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若,则
有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为_______________.
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