Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知F是线段BD的中点．
（Ⅰ）试在棱D₁D上确定一点E，使得EF⊥B₁C；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B₁-EFC的体积．

Answer 1

分析：（1）当点E为棱DD₁的中点时，会使得EF⊥B₁C，下面用下面垂直来证明即可；
（2）先由已知结合（1）得出垂直关系，再由几何关系求出三棱锥的底面和高，代公式可求．

解答：解：（1）当点E为棱DD₁的中点时，会使得EF⊥B₁C．下面证明：…（2分）
∵E、F分别为棱DD₁、BD的中点，∴EF∥BD₁，…（3分）
∵B₁C⊥BC₁，B₁C⊥C₁D₁，又BC₁∩C₁D₁=C₁，∴B₁C⊥平面BC₁D₁，∴B₁C⊥BD₁
同理可得B₁C⊥BD，又BD∩BD₁=B，
故BD₁⊥平面AB₁C，所以B₁C⊥BD₁…（5分）
即EF⊥B₁C；…（6分）
（2）由（1）可知：EF⊥B₁C，又EF⊥FC，故EF⊥平面B₁CF，
又EF=

1

2

BD₁=

3

．…（7分）
CF=

2

，B₁C=2

2

，B₁F=

6

，满足勾股定理…（8分）
故S△B1CF=

1

2

×

2

×

6

=

3

．…（10分）
故三棱锥B₁-EFC的体积为V=

1

3

×

3

×

3

=1．…（13分）

点评：本题以正方体为载体考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求解，属中档题．