Question

若函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为-

4

3

，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=-

4

3

．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．
（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-b
由题意；

f′(2)=12a-b f(2)=8a-2b+4=- 4 3

，解得

a= 1 3 b=4

，
∴所求的解析式为f(x)=

1

3

x3-4x+4
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2）
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
∴当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0
因此，当x=-2时，f（x）有极大值

28

3

，
当x=2时，f（x）有极小值-

4

3

，
∴函数f(x)=

1

3

x3-4x+4的图象大致如图．
由图可知：-

4

3

＜k＜

28

3

．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．