Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、O分别是AA₁，CC₁，BD的中点，
（1）求异面直线D₁E与BB₁所成的角的余弦值；
（2）求证：BD⊥平面A₁OF．

Answer 1

分析：（1）先将BB₁平移到AA₁，使两条异面直线移到同一点，得到AA₁与D₁E所成角∠A₁ED₁等于D₁E与BB₁所成的角，最后在Rt△A₁ED₁中利用余弦定理求之即可．
（2）欲证BD⊥平面A₁OF，连接A₁B，A₁D，OF，即要证：A₁O⊥BD，及OF⊥BD，而A₁O∩OF=O，由线面垂直的判定定理即得BD⊥平面A₁OF．

解答：解：（1）设正方体的棱长为2
∵BB₁∥AA₁，∴AA₁与D₁E所成角∠A₁ED₁等于
D₁E与BB₁所成的角
在Rt△A₁ED₁中，cos∠A1ED1=

A1E

ED1

=

1

5

=

5

5

（2）连接A₁B，A₁D，OF，∵△A₁AD≌△A₁AB，∴A₁D=A₁B∴△A₁BD是等腰三角形，
又∵O是BD的中点，∴A₁O⊥BD
同理得OF⊥BD，而A₁O∩OF=O
所以BD⊥平面A₁OF．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角、直线与平面垂直的判定，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．