Question

设S=x²+2xy+2y²+2x+1，其中x∈R，y∈R，则S的最小值为（　　）

• A．1
• B．-1
• C．-

  3

  4

• D．0

Answer 1

分析：解法一：由S=x²+2xy+2y²+2x+1利用判别式法，我们可将S=x²+2xy+2y²+2x+1的表达式看成关于x的一元二次方程，进而根据方程对应的△≥0，求出S的取值范围，进而得到S的最小值．
解法二：利用配方法，我们可将S=x²+2xy+2y²+2x+1化为（x+y+1）²+（y-1）²-1的形式，进而利用实数的性质得到S的最小值．

解答：解法一：
x²+（2y+2）x+（2y²+1-S）=0，
由△=（2y+2）²-4（2y²+1-S）≥0
得S≥y²-2y=（y-1）²-1≥-1．
当且仅当y=1，x=-2时，S_min=-1．
故选B．
解法二：
S=x²+2xy+2y²+2x+1=x²+2（y+1）x+（y+1）²+y²-2y=（x+y+1）²+（y-1）²-1≥-1．
当且仅当y=1，x=-2时，S_min=-1．选B．

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，是对函数值域及最值求法的直接考查，其中（1）中使用的判别式法，关键是根据△≥0，求出S的取值范围，而（2）中的配方法，关键是将函数的解析式化为式子平方与常数和的形式．