Question

广东某公司为了应对美国次贷案所造成的全球性金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工200人，每人每年可创利润10万元．根据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.1万元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.12万元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的70%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年2万元的生活费．设公司裁员人数为x，公司一年获得的纯收入为y万元．（注：年纯收入=年利润-裁员员工的生活费）
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

Answer 1

分析：（1）根据若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.1万元，可得当0＜x≤200×20%时，y=-0.1x²+8x+2000；根据若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.12万元，可得当200×20%＜x≤200×（1-70%）时，y=-0.12x²+12x+2000，从而可得y与x的函数关系式；
（2）利用配方法，分段求函数的最值，再比较利润，即可求出公司获得最大的经济效益，公司应裁员的人数．

解答：解：（1）当0＜x≤200×20%时，y=（200-x）（10+0.1x）-2x，即y=-0.1x²+8x+2000，…（2分）
当200×20%＜x≤200×（1-70%）时，y=（200-x）（10+0.12x）-2x，即y=-0.12x²+12x+2000  …（4分）
∴y与x的函数关系式为y=

-0.1x2+8x+2000，0＜x≤40，x∈N -0.12x2+12x+2000，40＜x≤60，x∈N

…（6分），
（2）由y=-0.1x²+8x+2000=-0.1（x-40）²+2160，
而0＜x≤40，x∈N，则x=40时，y_max=2160；    …（9分）
由y=-0.12x²+12x+2000=-0.12（x-50）²+2300
而40＜x≤60，x∈N，则x=50时，y_max=2300；   …（12分）
由于2160＜2300，则当x=50时，公司获利最大，…（13分）
答：裁员50人时，公司获得最大的经济效益．  …（14分）

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，解题时审清题意是关键．