Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|x|＜π），在一周期内，当x=

π

12

时，y取得最大值3，当x=

7π

12

时，y取得最小值-3，
求（1）函数的解析式．
（2）求出函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程，对称中心坐标；
（3）当x∈[-

π

12

，

π

12

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由题干得出A，同一周期内两个最值点的横坐标之差的绝对值是半个T，从而得出ω，代入最高点坐标令ωx+Φ=

π

2

求出φ，得函数的解析式；
（2）由（1）知：ω=2，φ=

π

3

，把2x+

π

3

看作X分别代入正弦函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标分别求出x得函数f（x）的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）由x的范围得2x+

π

3

的范围，由正弦函数的图象得sin（2x+

π

3

）的范围，由不等式得3sin（2x+

π

3

）的范围，即函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由题设知，A=3，

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，∴T=π，∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），∵3sin（2×

π

12

+φ）=3，∴sin（

π

6

+φ）=1，
∴

π

6

+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

，，∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z），
由2x+

π

3

=

π

2

+kπ得x=

π

12

+

kπ

2

，
∴函数f（x）的对称轴方程为x=

π

12

+

kπ

2

（k∈Z），
由2x+

π

3

=kπ得x=-

π

6

+

kπ

2

（k∈Z），
∴函数f（x）的对称中心坐标为（-

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

12

，

π

12

]，∴2x+

π

3

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，∴3sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，3]，
∴函数f（x）的值域为[

3

2

，3]．

点评：求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y=Asin（ωx+φ）的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标时，要把ωx+φ看作整体，分别代入正弦函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标分别求出x，这儿利用整体的思想；求y=Asin（ωx+φ）的值域时，从x的范围由里向外扩，一直扩到
Asin（ωx+φ）的范围，即函数f（x）的值域．