Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB₁与平面AB₁C₁所成的角的大小为

30°

．

Answer 1

分析：取B₁C₁中点为D，连接AD，A₁D，证明AA₁与平面AB₁C₁所成角为∠A₁AD，AA₁与平面AB₁C₁所成角即是BB₁与平面AB₁C₁所成角，即可得到结论．

解答：解：取B₁C₁中点为D，连接AD，A₁D
∵侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁∥AA₁，
∴AA₁与平面AB₁C₁所成角即是BB₁与平面AB₁C₁所成角
∵B₁C₁⊥AD，B₁C₁⊥AA₁，
∴B₁C₁⊥平面AA₁D
∴平面AA₁D⊥平面AB₁C₁，
∴AA₁与平面AB₁C₁所成角为∠A₁AD
∵AA₁=3，A₁D=

3

∴tan∠A₁AD=

A1D

AA1

=

3

3

∴∠A₁AD=30°
∴BB₁与平面AB₁C₁所成角为30°
故答案为：30°

点评：本题考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．作二面角的平面角时，有时可以借助转化换位置法作图，如本题就采用了这一技巧