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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    1
    2
    ，短轴长为2
    		3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．
    （1）∵椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    1
    2
    ，短轴长为2
    		3
    ，
    ∴
    c
    a
    =
    1
    2
    2b=2
    		3
    a2=b2+c2
    ，解得a=2，b=
    		3
    ，
    ∴椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
    若直线l与x轴垂直，则P（0，0）；
    若直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=kx+2，k≠0．
    由
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    y=kx+2
    ，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，…①
    则
    2x=x1+x2=
    -16k
    3+4k2
    y=kx+2
    ，将其消去k，得
    3x2
    4
    +(y-1)2    =1，
    由①中△=（-16k）2-16（3+4k2）＞0，解得k2＞
    1
    4
    ，
    则x=
    -8k
    3+4k2
    =
    -8
    4k+
    3
    k
    ∈[-
    2
    		3
    3
    ，0    ）∪（0，
    2
    		3
    3
    ]，y=
    -8k2
    3+4k2
    +2    =
    6
    3+4k2
    ∈（0，
    3
    2
    ）．
    综上，所求点P的轨迹方程为
    3x2
    4
    +(y-1)2    =1．y∈[0，
    3
    2
    ）．
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的两条渐近线为
    l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．
    （1）当l1与l2的夹角为60°，且△POF的面积为
    		3
    2
    时，求椭圆C的方程；
    （2）当
    FA
    =λ
    AP
    时，求当λ取到最大值时椭圆的离心率．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
    （1）求动圆圆心C的轨迹方程；
    （2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
    ①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
    ②求|PA|+|PB|的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
    （1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
    （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
    （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+
    y2
    2
    =1    在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-
    		2
    的直线l与C交于A、B两点，点P满足
    OA
    +
    OB
    +
    OP
    =
    0
    ．
    （Ⅰ）证明：点P在C上；
    （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C：y2=x，直线l：y=k（x-1）+1，要使抛物线C上存在关于对称的两点，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    直线l过x轴上的点M，l交椭圆
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    于A，B两点，O是坐标原点．
    （1）若M的坐标为（2，0），当OA⊥OB时，求直线l的方程；
    （2）若M的坐标为（1，0），设直线l的斜率为k（k≠0），是否存直线l，使得l垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    若直线y=kx+2与曲线y=
    		x2-1
    ，|x|＞1
    		1-x2
    ，|x|≤1
    恰有两个不同的交点，则k∈______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线C1：x2-
    y2
    4
    =1    ．
    （1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，
    		3
    ）的双曲线C2的标准方程；
    （2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当
    OA
    •
    OB
    =3    时，求实数m的值．

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