Question

判断下列命题的真假

①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；

②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

③两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.

Answer 1

解析：①若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图(1)，正方体AC₁中，平面AC⊥平面AD₁，平面AC∩平面AD₁=AD，在AD上取点A，连结AB₁，则AB₁⊥AD，即过棱上一点A的直线AB₁与棱垂直，但AB₁与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB₁没有保证在平面ADD₁A₁内.可以看出：线在面内这一条件的重要性.

②该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图(2)，在正方体AC₁中，平面AD₁⊥平面AC，AD₁平面ADD₁A₁,AB平面ABCD，且AB⊥AD₁，即AB与AD₁相互垂直，但AD₁与平面ABCD不垂直；③如图(2)，正方体AC₁中，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，AD₁平面ADD₁A₁，AC平面ABCD，AD₁与AC所成的角为60°，即AD₁与AC不垂直.

答案：①假  ②假  ③假